Das jahr 2024 markiert den 80. Jahrestag eines wichtigen Ereignisses während des Zweiten Weltkriegs: der Entschlüsselung der Enigma-Maschine durch die Alliierten (unter anderem dank der Arbeit des Mathematikers Alan Turing). Dieses Gerät wurde von den Deutschen zur heimlichen Übermittlung militärischer Pläne verwendet, sodass seine Entschlüsselung den Verlauf des Krieges stark beeinflusste und gleichzeitig einen wichtigen Fortschritt in der Kryptographie anzeigte. Kurse in…

Das jahr 2024 markiert den 80. Jahrestag eines wichtigen Ereignisses während des Zweiten Weltkriegs: der Entschlüsselung der Enigma-Maschine durch die Alliierten (unter anderem dank der Arbeit des Mathematikers Alan Turing). Dieses Gerät wurde von den Deutschen zur heimlichen Übermittlung militärischer Pläne verwendet, sodass seine Entschlüsselung den Verlauf des Krieges stark beeinflusste und gleichzeitig einen wichtigen Fortschritt in der Kryptographie anzeigte. Der Verlauf der Disziplin wird weitgehend von ständigen Konflikten bestimmt: Während einige versuchen, Informationen sicher durch Verschlüsselung zu übertragen, werden andere versuchen, den Code zu knacken, um an die Informationen zu gelangen. Dadurch entstehen immer bessere Systeme.

Die erste Chiffre, die auftauchte, war die monoalphabetische Substitutions-Chiffre. Die Bedienung ist sehr einfach: Jeder Buchstabe der Originalnachricht wird durch ein anderes Zeichen ersetzt, um eine verschlüsselte Nachricht zu erzeugen. Beispielsweise wird jedes „e“ in „g“ geändert. Das Problem bei diesem System ist die Häufigkeit, mit der Buchstaben aus dem Originaltext in den verschlüsselten Text übertragen werden. Wenn eine verschlüsselte Nachricht also viele „g“ und „q“ enthält, entspricht sie wahrscheinlich „e“ und „a“, den Buchstaben, die in einem Text auf Spanisch am häufigsten vorkommen. Mit dieser Idee, die in der Technik der Frequenzanalyse entwickelt wurde, können wir mit der Dekodierung beginnen. Geschichte Goldflohvon Edgar Allan Poe, verknüpft die Geschichte mit einer detaillierten Beschreibung der Methode.

Als Reaktion auf diese Schwäche wurden polyalphabetische Substitutions-Chiffren entwickelt. Darin wird ein Buchstabe nicht immer mit dem gleichen Zeichen kodiert, da sich die Ersetzungsregeln im Laufe des Textes ändern. In klassischen Beispielen dieses Systems, wie der Vigenere-Chiffre, werden nur wenige Substitutionsregeln verwendet und es ist einfach, die Buchstaben des Chiffretextes entsprechend den daraus abgeleiteten Regeln zu gruppieren. Sobald die Buchstaben in Gruppen unterteilt sind, wird jeder von ihnen mithilfe einer monoalphabetischen Substitutionsverschlüsselung textverschlüsselt, sodass eine Häufigkeitsanalyse angewendet werden kann.

Obwohl die Enigma-Maschine die gleiche Art der Polyalphabet-Verschlüsselung durchführte, war dies ein großer Fortschritt gegenüber klassischen Techniken. Es verfügt über drei Rotoren, die die Verbindung zwischen der Tastatur und dem Leuchtpaneel herstellen. Wenn die Taste gedrückt wird, blinkt der verschlüsselte Buchstabe und die Rotorkonfiguration ändert sich, sodass für den nächsten Buchstaben eine andere Regel verwendet wird. Die Details des internen Mechanismus führen dazu, dass eine Vielzahl unterschiedlicher Regeln verwendet werden, was die Entschlüsselung äußerst schwierig macht: Dies ist nur möglich, wenn die anfängliche Konfiguration der Maschine bekannt ist. Kleinere Systemprobleme, mehrere Jahre mathematischer und rechnerischer Fortschritte in der Arbeit und ein bisschen Glück ermöglichten schließlich die Entschlüsselung von Enigma.

Einer dieser Nachteile besteht darin, dass Informationen über Maschinenkonfigurationen im Voraus verteilt werden müssen, wobei die Gefahr besteht, dass sie abgefangen werden. Daher ist die Schwierigkeit des sicheren Austauschs von Schlüsseln das nächste Problem, das gelöst werden muss, um das System robuster zu machen. Die Antwort kam erst in den 1970er Jahren mit dem Diffie-Hellman-Protokoll.

Angenommen, Antonio und Beatriz möchten ihre Kommunikation verschlüsseln und müssen sich auf einen geheimen Schlüssel einigen. Dieses Protokoll macht ein persönliches Treffen überflüssig. Der zugrunde liegende mathematische Prozess wird oft so beschrieben, als handele es sich um eine Mischung verschiedener Farben. Die beiden Agenten entscheiden sich für häufig verwendete Farben, die kein Geheimnis sein müssen. Und jeder wählte auch heimlich eine Farbe, die nur er selbst kannte. Durch das Mischen ihrer Farben mit normaler Farbe erhalten sie zwei verschiedene neue Farben, die die von ihnen übermittelten Informationen darstellen.

Wenn jemand die Informationen abfangen würde, würde es für ihn schwierig sein, Ihre geheimen Farben herauszufinden: Selbst wenn er die „öffentlichen“ Farben kennt, ist die Trennung der Mischung, um die Farben zu bestimmen, aus denen sie besteht, ein sehr kostspieliger Prozess. Wenn sie es jedoch erhalten, können sie die geheime Farbe erneut hinzufügen und erhalten so eine Mischung aus denselben drei Farben, die zu ihrem offenen Geheimnis wird. Damit der Abfangjäger die gleiche Endmischung erhält, muss er eine der gesendeten Mischungen trennen und die resultierende persönliche Farbe der anderen Mischung hinzufügen. Da dies nicht machbar und zu teuer ist, ist das Protokoll sicher.

Tatsächlich erfolgt dieser Prozess nicht mit Farbe, sondern mit Mathematik. Seine Sicherheit basiert auf schnellen Rechenoperationen auf einem Computer und Potenzierung in der modularen Arithmetik, aber es ist sehr schwierig, es nur mit der Kenntnis des Ergebnisses rückgängig zu machen. Während gewöhnliche Exponentialfunktionen einem klaren Muster folgen, sind Exponentialfunktionen in der modularen Arithmetik sehr schwer vorherzusagen und heben sich daher auf. Dies ist als diskretes Logarithmusproblem bekannt.

Doch bevor man sich auf einen gemeinsamen Schlüssel einigt, müssen die an der Kommunikation Beteiligten überprüfen können, dass es sich bei der anderen Person nicht um einen Betrüger handelt. Dafür verwenden sie Authentifizierungszertifikat. Sobald dies erledigt ist, können Sie mithilfe der Diffie-Hellman-Methode einen geheimen Schlüssel vereinbaren und schließlich die verschlüsselten Informationen senden. Der eigentliche Prozess ist viel komplizierter als hier beschrieben, aber er ist eine Grundzutat und sehr wichtig für Sichere Kommunikation im Internet. Obwohl sich das Gebiet ständig weiterentwickelt, war dieses Protokoll im Laufe der Jahre völlig sicher. Es wird jedoch nie an Menschen mangeln, die versuchen, es zu zerstören, sodass der Krypto-Kampf nie endet.

Laura Castilla Spanien Und Javier Penfil Tomás ist Doktorand an der Complutense-Universität Madrid bzw. am Höheren Rat für wissenschaftliche Forschung und Mitglied des Institut für Mathematische Wissenschaften

Kaffee und Theorem ist ein Bereich, der der Mathematik und dem Umfeld, in dem sie entsteht, gewidmet ist und vom Institut für Mathematische Wissenschaften (ICMAT) koordiniert wird. Dort beschreiben Forscher und Mitglieder des Zentrums die neuesten Fortschritte in der Disziplin und teilen Gemeinsamkeiten zwischen Mathematik und anderen sozialen und sozialen Bereichen kulturelle Ausdrucksformen und erinnern Sie sich an diejenigen, die seine Entwicklung geprägt haben und es verstanden haben, Kaffee in Theoreme zu verwandeln. Der Name erinnert an die Definition des ungarischen Mathematikers Alfred Rényi: „Ein Mathematiker ist eine Maschine, die Kaffee in Theoreme verwandelt.“

Auflage und Koordination: Ágata A. Timón G Longoria (ICMAT).

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